\( \tan^3(x) \) 的积分

推导与计算

求积分：

\[ \int \tan^3(x) \, dx \]

将被积函数 \( \tan^3(x) \) 写成乘积形式 \( \tan x \tan^2 x \)：

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x \tan^2 x \, dx \]

使用三角恒等式 \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) 将积分写为：

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x (\sec^2 x - 1) \, dx \]

展开被积函数并将积分写成两个积分的差：

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x \sec^2 x \, dx - \int \tan x \, dx \]

对 \( \displaystyle \int \tan x \sec^2 x \, dx \) 使用换元积分法：令 \( u = \tan x \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = \sec^2 x \) 或 \( dx = \dfrac{1}{\sec^2 x} \, du \)。代入后得：

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int u \sec^2 x \left(\dfrac{1}{\sec^2 x}\right) du - \int \tan x \, dx \]

化简表达式：

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int u \, du - \int \tan x \, dx \]

利用标准积分公式 \( \displaystyle \int u \, du = \dfrac{1}{2} u^2 \) 以及常见积分 \( \displaystyle \int \tan x \, dx = \ln|\sec x| \) 进行计算：

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \dfrac{1}{2} u^2 - \ln|\sec x| + c \]

其中 \( c \) 为积分常数。

代回 \( u = \tan x \) 得到最终答案：